jueves, 3 de diciembre de 2009

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Resueltos:


1.-Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un chaque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha erronea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tiene fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada.

¿Qué probabilidad hay de que sea un cliente sin fondos?

SOLUCIÓN:

A: Que el cliente tenga fondos en su cuenta

B: Que el cliente extienda un cheque con fecha equivocada?

P(BlA)= 0.001
P(B´lA´)= 1
P(A) = 0.90



Si: P(AlB) = P(AnB) / P(A)

=> P(AnB) = P(A) * P(BlA) = (0.90) (0.001) = 0.0009


P(A´) = 1 - P(A) = 1 - 0.90 = 0.10


Si: P(BlA) = P(AnB) /P(A´)

=> P(A´nB) = P(A´) * P(BlA´) = (0.10) (1) = 0.10

P(B) = P(AnB) + P(A´nB) = 0.0009 + 0.10 = 0.1009

P(A´lB)= P(A´nB) / P(B)

P(A´lB) = 0.001 / 0.1009

P(A´lB) = 0.99

P(B´) = 1 - P(B) = 1 - 1009 = 0.8991

P (AnB´) = P(A) - P(AnB) = 0.90 - 0.0009 = 0.8991

P(A´nB´) = P(A´) - P(A

´nB) = 0.10-0.10 = 0.00


2.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso el 90% de los alumnos estudia ingles y el resto frances . el 30% de los que estudian ingles son chicos y de los que estudian frances son chicos el 40% se selecciona un alumno al azar

¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?

SOLUCIÓN:

A: Que el alumno estudie ingles

B: Que el alumno sea chico

A´: Que el alumno estudie frances

B´: Que el alumno sea chica

P(A) = 0.90

P(A´) = 1 - P(A) = 1 - 0.90 = 0.10

P(BlA) = 0.30

P(BlA´) = 0.40



P(AnB) = P(A) * P(BlA) = (0.90) (0.30) = 0.27


P(AnB´)= P(A) - P(AnB) = 0.90 - 0.27 = 0.63


P(B´) = P(AnB´) + P(A´n B´)

P(B´) = 0.63+0.06

P(B´) = 0.69

P(A´nB´) = P(B´) - P(AnB´) = 0.69 - 0.63 = 0.06

P(B) = 1 - P(B´) = 1 - 0.69 = 0.31

P(A´nB) = P(B) - P

(AnB) = 0.31 - 0.27 = 0.04


3.-En una clase en la que todos practican algun deporte , el 60 de los alumnos juegan al futbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. si ademas hay un 60% que no juega futbol.¿Cuál será la probabilidad de que se seleccione al azar un alumno que:

a)Juegue solo al futbol?

b)Juegue solo al baloncesto?

c)Practique uno solo de los dos deportes?

d)No juegue ni al futbol ni al baloncesto?

SOLUCIÓN:


A: los alumnos jueguen futbol

B: los alumnos jueguen baloncesto

P(AUB)=0.60

P(AnB)=0.10

P(A´)=0.60



a) P(A) = 1 - P(A´)

P(A) = 1 - 0.60

P(A) = 0.40


b) Si: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB)

=> P(B) = P(AUB) - P(A) + P(AnB)

P(B) = 0.60 - 0.40 + 0.10

P(B) = 0.30


c) P(A) - P(AnB) = 0.40 - 0.10

P(A) - P(AnB) = 0.30 FUTBOL

P(B) - P(AnB) = 0.30 - 0.10

P(B) - P(AnB) = 0.20 BALONCESTO


d) P(A´nB´) = 1 - P(AUB)

P(A´nB´) = 1 - 0.60

P(A´nB´) = 0.40



4.-En una ciudad el 40% de la poblaciontiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. se escoge una persona al azar:

a)Si tiene los cabellos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tambien ojos castaños?

b)Si tine ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

SOLUCIÓN:

A:Que tenga cabellos castaños

B:Que tenga ajos castaños

P(A)=0.40

P(B)=0.25

P(AnB)=0.15


a) P(BlA) = P(AnB) / P(A)

P(BlA) = 0.15 / 0.40

P(BlA) = 0.375


b) P(AlB) = P(AnB) / P(B)

P(AlB) = 0.15 / 0.25

P(AlB) =0.6


P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB) = 0.40+0.25-0.15 = 0.5


c) P(A´nB´) = 1 - P(AUB)

P(A´nB´) = 1 - 0.5

P(A´nB´) = 0.5

P(A´nB) = P(B) - P(AnB) = 0.25 - 0.15 = 0.10

P(A´) = 1 - P(A) = 1 - 0.40 = 0.60

P(B´) = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75

P(AnB´) = P(B´) - P(A´nB´) = 0.75 - 0.50 = 0.25


5.- Un estudiantecuenta para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realize el examen es de 0.90 y en caso contrario de 0.5

a) si va a realizar el examen ¿Cuál es la probabilidad de que haya oido el despertador?

b) si no realiza el examen ¿ Cuál es la probabilidad de que no haya oido el despertalor?

SOLUCIÓN:

A: Que si oiga el despertador

B: Que si realize el exámen

P(A)=0.80

P(BlA)=0.90 P

(B´lA´)=0.50



Si: P(BlA) = P(AnB) / P(A)

=>P(AnB) = P(BlA) * P(A) = (0.90) (0.80) = 0.72


P(A´) = 1 - P(A) = 1 - 0.80 = 0.20


Si: P(B´lA´) = P(A´nB´) / P(A´)

=>P(A´nB´) = P(B´lA´) * P(A´) = (0.50) (0.20) = 0.10


P(A´nB) = P(A´) - P(A´nB´) = 0.20 - 0.10 = 0.10


P(B) = P(AnB) + P(A´nB) = 0.72 + 0.10 = 0.82


a) P(AlB) = P(AnB) / P(B)

P(AlB) = 0.72 / 0.82

P(AlB) = 0.87


b) P(A´lB´) = P(A´YB´) / P(B´)

P(A´lB´) = 0.10/0.18

P(A´lB´) = 0.55

P(B´) = 1 - P(B) = 1 - 0.82 = 0.18

P(AnB´) = P(A) - P(AnB) = 0.80 - 0.72 = 0.08



6.-En un estudio reciente de 1700 compañias se encontro que el 49% de ellas realizaban estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad,61% lleva a cabo pronosticos de ventas a corto plazo y el 38% de ellas hacen ambas cosas.si una de las compañias se selecciona al azar encuentre la probabilidad de que:

a)la compañia realice estuduos serios sobre la eficiencia de su compañia

b)la compañia lleve a cabo pronosticos de ventas a corto plazo

c)la compañia realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad o lleve a cabo pronosticos de ventas a corto plazo

d)si se sabe que la compañia lleva a cabo pronosticos de ventas a corto plazo realice estudios serios sobre la efeciencia de su publicidad

SOLUCIÓN:


A: Realizan estudios sobre eficiencia de publicidad

B:Llevan a cabo pronosticos de ventas a corto plazo

P(A) = 0.49

P(B) = 0.61

P(AnB) = 0.38


a) P(A) = 0.49

b) P(B) = 0.61


c) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB)

P(AUB) = 0.49 + 0.61 - 0.38

P(AUB) = 0.72

d) P(AlB) = P(AnB) / P(B)

P(AlB) = 0.38 / 0.61

P(AlB) = 0.62



7.-los accidentes automovilisticos que ocurren en dos ciudades diferentes A y B son independientes. en el crucero mas peligroso de la ciudad A la probabilidad de que ocurra un accidente es de 1/25. La probabilidad en el crucero mas peligroso de la ciudad B es 1/32. ¿Cúal es la probabilidad de que:

a) en la ciudad A no ocurra accidente en el crucero observado?

b) en la ciudad B no ocurra accidente en el crucero observado?

c) en las dos ciudades no ocurran accidentes en los cruceros observados?

SOLUCIÓN:

A: que en la ciudad A ocurra un accidente en el crucero observado

B: que en la ciudad B ocurra un accidente en el crucero observado

P(A)= 0.04
P(B)= 0.03



a) P (A´) = 1 - P(A)
P (A´) = 1 - 0.04
P (A´) = 0.96


b) P (B´) = 1 - P(B)
P (A´) = 1 - 0.03
P (A´) = 0.97


c) P(A´n B´) = P (A´) * P (B´)
P (A´) = (0.96) (0.97)
P (A´) = 0.93



8.-
En un grupo de un CBTis, 50% de los estudiantes aprobó el curso de matemáticas V, 45% aprobó el curso de físic
a II y 45% aprobó el curso de tecnología. De ellos, 5% aprobó los tres cursos; 10% aprobó matemáticas y fisica; 10% aprobó matematicas y tecnologia pero no fisica; y el 15% aprobó solamente tecnologia. a) Dibuja un diagrama de Venn para esta situación. ¿Que porcentaje de estudiantes aprobó: b) solo el curso de matematicas? c) solo el curso de fisica?

SOLUCIÓN:

A:Que aprueben el curso de matematicas
B: Que apureben el curso de fisica

C: Que aprueben el curso de tecnologia

a) Diagrama de Venn:

P(A) = 0.50
P(B) = 0.45
P(C) = 0.45
P(AnB) = 0.10
P(AnC) = 0.10
P(BnC) = 0.15
P(AnBnC) = 0.05


b) P(A) - P(AnB) - P(AnC) - P(AnBnC) = 0.50 - 0.10 - 0.10 - 0.05
P(A) - P(AnB) - P(AnC) - P(AnBnC) = 0.25

c)
P(B) - P(AnB) - P(BnC) - P(AnBnC) = 0.45 - 0.10 - 0.15 - 0.05
P(B) - P(AnB) - P(BnC) - P(AnBnC) = 0.15



9.- Un carpintero mide un claro donde colocará una puerta que el construirá. La probabilidad de que se equivoque al medir es de 0.04. Ademas, la probabilidad de que la puerta no le guste al cliente es de 0.06. ¿cuál es la probabilidad de que la puerta:

a) Haya sido bien medida y le guste al cliente?


b)
Haya sido bien medida y no le guste al cliente?

c)Haya sido bien medida o le guste al cliente?

SOLUCIÓN:

A: Que la puerta haya sido bien medida.
B: Que la puerta le guste al cliente.

P(A´) = 0.04
P(B´) = 0.06



P(A) = 1 - P(A´) = 1 - 0.04 = 0.96

P(B) = 1 - P(B´) = 1 - 0.06 = 0.94


a) P(AnB) = P(A) * P(B)
P(AnB) = (0.96) (0.94)
P(AnB) = 0.9024

b) P(AnB´) = P(A) * P(B´)
P(AnB´) = (0.96) (0.06)
P(AnB´) = 0.0576


c)P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB)
P(AUB) = 0.96 + 0.94 - 0.9024
P(AUB) = 0.9976




10.-Suponga que una gran compañia contrata personal con y sin estudios universitarios para realizar el mismo trabajo. Despues de cierto tiempo, el personal es calificado por los supervisores. Las probabilidades se clasificaron según el desempeño para los dos tios de empleos:

Si se selecciona un empleado al azar, ¿cual es la probabilidad de que:

a) Tenga educación universitaria?

b) Tenga desempeño malo?

c) No tenga educación universitaria y tenga desempeño bueno?

d) Si se sabe que tiene educación universitaria su desempeño sea bueno?

e) Si se sabe que su desempeño fue malo que tenga educaión universitaria?

SOLUCIÓN:

A: Que el empleado tenga educaión Universitaria
B: Que el empleado tenga buen desempeño

P(AnB) = 0.12
P(AnB´) = 0.28
P(A´nB) = 0.18
P(A´nB´) = 0.42




a) P(A) =
P(AnB) + P(AnB´)
P(A) = 0.12 + 0.28
P(A) = 0.40



b) P(B´) = P(AnB´) + P(A´nB´)
P(B´) = 0.28 + 0.42
P(B´) = 0.70



P(A´) = 1 - P(A) = 1 - 0.40 = 0.60



c) P(A´nB) = P(A´) - P(A´nB´)
P(A´nB) = 0.60 - 0.42
P(A´nB) = 0.18



d) P(BlA) = P(AnB) / P(A)
P(BlA) = 0.12 / 0.40
P(BlA) = 0.30



e) P(AlB´) = P(AnB´) / P(B´)
P(AlB´) = 0.28 / 0.70
P(AlB´) = 0.40



Probabilidad Axiomatica

La probabilidad axiomatica es una de las mas simples definiciones y la menos controvertida ya que esta basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos minimos para dar una definicion de probabilidad; es una funcion que se asocia a cada suceso A un numero real que sera su probabilidad . La ventaja de esta definicion es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A.N Kolmogorov y aceptada por estadisticos y matematicos en general.



AXIOMAS



1.- P(A)>0

2.- P(A)<1

3.- P(S)=1

4.- P(A)=1-P(A°)

5.-P(A°)=1-P(A)





Si A y B son mutuamente excluyentes



6.-P(AUB)= P(A) + P(B) U= Unión



Si A y B no son mutuamente excluyentes



7.-P(AYB)=P(A) + P(B) - P(AYB) Y= Interseccion